Fluvio Labenti

( flowing stream )

Thursday, March 20, 2014

Todo está aquí



Supongamos que este monitor tiene resolución 1920x1080 = 2073600, apenas un poco más de 2 mega-píxeles. No es gran cosa comparado con las resoluciones actuales de cámaras digitales y teléfonos móviles. Considera por un momento que tomas hoy una foto de un familiar y la subes a tu PC y aparece la foto en este monitor. Allí están esos ojos, la sonrisa, la expresión inconfundible. ¿No es algo asombroso? Este monitor nunca supo nada de esa persona, pero bastó con asignarle el color adecuado en la posición adecuada a cada pixel de la pantalla, y allí aparece la representación de ese rostro perfectamente reconocible en tu pantalla y ante tus ojos. Piensa por un momento lo que esto significa.

En este mismo monitor o pantalla donde ahora lees esto están potencialmente todas las imágenes del universo representables en esos dos mega-píxeles y en su gama limitada de colores. Bastaría con colocar el color adecuado en cada píxel, y allí aparecería ese retrato de cualquier persona que haya existido, y también el de todas las personas existentes, incluso el de las personas aún por existir, y el de personas imaginarias. Todos las grandes pinturas, todos los paisajes, las galaxias, toda imagen que haya visto un ojo, y toda la que no haya sido vista ni imaginada todavía. Todo lo representable en dos dimensiones y en esta resolución ya existe potencialmente en este monitor. Incluso lo secreto y no visto por nadie, y sin embargo, visto desde cualquier ángulo posible; todo está aquí.

Preguntémonos entonces: ¿cuántas imágenes distintas puede mostrar este monitor?

La cuenta nos da aproximadamente 10^15000000, o "diez a la quince millones".

Cada píxel consta de tres componentes de color: Rojo, Verde y Azul (Red, Green, Blue => RGB). Asumiendo un monitor con capacidad "true color", uno puede asignar un valor entre 0 y 255 a cada uno de esos tres componentes. Cada píxel puede entonces mostrar uno entre 256*256*256 posibles colores, o lo que es lo mismo: 16.77 millones de colores (2^24 colores) en total. En cada píxel.

Para ver cuántas imágenes distintas puede mostrar el monitor, tenemos que combinar cada una de esas posibilidades, cambiando todas las otras posibles combinaciones de colores en todos los otros píxeles. Saquemos entonces la cuenta. Imaginemos primero que el monitor tiene sólo 4 píxeles, y sólo ocho (2^3) colores por píxel. Escogemos un color para un píxel y recorremos todas las otras combinaciones de colores en los otros 3 píxeles. Luego pasamos al segundo color del primer pixel, y repetimos. Así sucesivamente. Con cuatro píxeles tendríamos entonces una cantidad de imágenes posibles igual a (2^3)x(2^3)x(2^3)x(2^3), o 2^(3x4) = 2^12 posibles imágenes.

Si el monitor tiene 1920x1080 = 2073600 píxeles, y hay 2^24 colores posibles por píxel, la cantidad total de imágenes posibles es 2^(24 x 2073600). Eso es 2^49766400, o el número dos elevado a una potencia de casi 50 millones. Eso es más o menos lo mismo que 10 elevado a una potencia de 15 millones: 10^15000000. (Nótese, son [diez] a la [quince millones], no [diez a la quince] [millones]). Así como un millón (10^6) es un uno seguido de seis ceros, la cantidad de imágenes posibles en ese monitor es un uno seguido de quince millones de ceros. ¿Qué tan grande es este pequeño "infinito"?

Hagamos un breve paréntesis para hablar de notación científica, que no es más que una reescritura de cualquier número X de forma "A multiplicado por diez elevado a la B", o lo que es lo mismo: X = A * 10 ^ B. Si X es un millón, en vez de escribir 1000000, escribimos 1x10^6. Elevar diez a una potencia "B" recordemos que no es más que multiplicar 10 por sí mismo un número B de veces. 10^6 entonces no es más que 10x10x10x10x10x10, lo cual nos da el conocido millón, o un uno seguido de seis ceros.

Para simplificarnos todavía más la vida, contamos con la "notación científica E", que reemplaza la frase "por diez elevado a la" con una simple letra E mayúscula. Así, tenemos que:

Un millón = 1000000 = 1x10^6
= "1 por diez elevado a la 6" = 1 E 6

Las calculadoras nos muestran la notación E siempre con unos decimales para la parte izquierda, así que un millón normalmente se vería como 1.00 E 6 (en las calculadoras no quedan espacios a los lados de la E, pero aquí los dejo para mayor legibilidad).

Este ahorro de esa repetidera de ceros que nos ofrece la notación científica nos conviene mucho. Con un millón nada más no se aprecia tanto la ventaja, pero si hablamos de que la tierra tiene una masa de 5973600000000000000000000 kg... ya va, ¿cuántos kg dije? Es absurdo lanzar ese chorro de dígitos y esperar que sean contados sin cometer errores. Mucho más práctico para todos es decir que la masa de la tierra es de 5.97 E 24 kg. Igualmente, en vez de decir que la masa del electrón es igual a 0.00000000000000000000000000000091 kg (¿cómo?), mejor decimos que son 9.1 E -31 kg. El exponente a la derecha de la E (24 para la masa de la Tierra, y -31 para la del electrón) nos da una idea inmediata de lo grande o pequeño que es el número en cuestión, y es lo que llamamos su "orden de magnitud". La masa de la tierra está pues en el orden de magnitud de 10 a la 24 kilogramos. Y la del electrón está en el orden de magnitud de 10 a la menos 31 kg.

Estos exponentes nos permiten también comparaciones relativas muy prácticas entre cantidades enormemente diferentes. Por ejemplo, podemos ya decir que la masa de un electrón es mucho menos respecto a un kilogramo (31 órdenes de magnitud de diferencia), comparándolo con lo que es un kilogramo respecto a la tierra entera (sólo 24 órdenes de magnitud de diferencia). El diámetro de un átomo de hidrógeno (aprox. 1 E -10 m) es bastante menos respecto a un metro (10 órdenes de magnitud de diferencia) que un metro respecto al diámetro de la tierra entera (1.27 E 7 m; sólo siete órdenes de magnitud de diferencia)

Volvamos entonces a la cantidad de imágenes posibles en nuestro monitor de 2 mega-píxeles, y de 16.77 millones de colores por píxel. De nuevo, son unas 10^15000000 de imágenes. Quizá nos cueste un poco leer bien que el exponente son 15 millones, pero el número final sigue siendo fácil de enunciar: [diez] a la [quince millones]". Denotemos este número solemne con la letra P.

Tratemos ahora de identificar un número Q que está muy cercano a P, pero que es un orden de magnitud menor: ese sería el número 10^14999999, o "[Diez] a la [catorce millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve]". Muy largo de pronunciar.  Este número también solemne es entonces Q, y equivale a una décima parte de P. En otras palabras, P = 10xQ

Nótese que necesitamos 10 números como Q para acumular uno sólo de nuestros grandes P. (Sí, así de grande es P). Lo que es lo mismo, si al inmenso P le restáramos un tajo tan grande como Q, nos quedarían todavía 9Q.

La edad del universo en años se estima en cerca de 14 mil millones de años. Suena que son muchos, pero escribiendo ese número en notación científica vemos que son apenas 1.4 E 10 años, o lo que es lo mismo, apenas 4.35 E 17 segundos, o 4.35 E 26 nanosegundos. Llamemos R a ese número 4.35 E 26.

Imaginemos que desde los inicios del universo hayamos estado viendo imágenes distintas en nuestro monitor, una cada nanosegundo, sin repetir ninguna. Ya habríamos visto entonces R imágenes distintas, es decir, 4.35 E 26 imágenes; algo de progreso. ¿Pero cuánto nos falta para ver todas las imágenes posibles en nuestro monitor? Basta entonces calcular cuánto nos queda si a nuestro solemne número P (1x10^15000000) le restamos R (4.35x10^26)

P - R = 10Q - R = 9Q + (Q - R)

Si a P (10^15000000) le restamos R (la edad del universo en nanosegundos), nos quedan todavía 9Q intactas, es decir 9 veces el ya inconmensurable 10^14999999, y encima tenemos todavía otro Q "casi completo", exceptuando el ínfimo tajo de orden E 26 que le hemos restado. (Este otro Q "casi completo" entendamos que equivale a su vez a 9 veces el inmenso 10^14999998 más ese mismo número pero también "casi completo"... y así sucesivamente). Sumar o restar números de órdenes de magnitud tan dispares es inútil pues el número mayor no cambia para nada de manera significativa. Esto lo acabamos de analizar por pura divagación, por quemar otros nanosegundos... Para todos los efectos, P - R lo podemos dejar como P.

Viendo imágenes distintas, una por nanosegundo, desde los orígenes del universo, todavía no habrías visto practicamente nada en cuanto a la cantidad total de imágenes posibles que hay aquí, frente a tus mismos ojos, en la misma pantalla donde lees esto. Todo el universo representable en dos dimensiones y en esta resolución y colores. Todos los mapas, todos los textos, todo lo escrito en todos los idiomas que han existido y existirán. Todas las fotos de gente viva o muerta, en todas sus edades y momentos, en todos los niveles de zoom imaginables sobre cualquiera de los puntos de esas fotos, gente aún no nacida, gente que nunca nacerá. Todo lo vivido, todo lo habido y por haber y lo no habido y que nunca habrá, todo lo existente y lo imaginado, y lo aún no imaginado. Todo está aquí y en este mismo momento. Todo ante tus ojos. Todo.

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